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本文目录一览：
- 1、亨利·勒贝格的勒贝格积分
- 2、亨利·勒贝格勒贝格积分理论的意义
- 3、积分函数
亨利·勒贝格的勒贝格积分
勒贝格对有界变差和可加性关系的探索，为J．拉东后来提出的更广积分定义奠定了基础，其中包括了T．-J．斯蒂尔吉斯积分和勒贝格积分的特殊情况。拉东进一步指出，勒贝格的思想不仅适用于这一特定的数学框架，而且在更广泛的理论背景中同样具有深远影响。
使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置。关于不连续函数的积分虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的。
在三角级数论方面，勒贝格的积分理论也起到了关键作用，推动了该领域的进步。此外，他还在维数论的研究中有所建树。晚年，他的兴趣转向了初等几何学以及数学史，他的学术成果被收录在《勒贝格全集》中，为后世数学家提供了宝贵的参考资料。
亨利·勒贝格在积分理论领域的贡献堪称卓越，他主要的贡献集中在完善积分论，这是实变函数理论的核心内容。自19世纪黎曼积分出现后，微积分理论逐渐趋于严密化。然而，随着魏尔斯特拉斯和康托尔的工作，出现了许多非连续的“奇怪”函数，黎曼积分的局限性开始显现。
亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue）1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎。数学家。勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养。在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落。在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度（Y值）乘以对应的所有小区间的长度的和（测度），然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。
亨利·勒贝格勒贝格积分理论的意义
勒贝格积分理论作为分析学中的一个关键工具，凭借其在三角级数领域的卓越应用，引起了数学家们的广泛关注，如P．法图、F．里斯和E．菲舍尔等。这些数学家们对这一理论的深入研究，推动了该领域的快速发展，特别是里斯对于Lp空间的贡献，使得勒贝格积分在解决积分方程和函数空间理论中的地位得以稳固。
勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上，是对黎曼积分的扩展。理论的初期发展，若尔当在《分析教程》中提出了若尔当测度论，探讨了定义在有界若尔当可测集上的函数积分，尽管存在缺陷，如不可测集的问题，但这对勒贝格的研究产生了深远影响。
勒贝格的主要成就在于测度和积分理论的革新。他提出了一种全新的方法，通过无穷多个区间来定义点集的测度，解决了许多特殊点集测度定义的难题。在积分理论方面，他摒弃了黎曼积分的传统做法，转而采用划分值域的方式，将积分与测度紧密联系起来，从而突破了黎曼积分的局限。
勒贝格积分的出现填补了这一空白，它既保留了直观的计算性，又在交换顺序条件上有显著提升。这一理论的杰出贡献者H.L.勒贝格不仅建立了勒贝格积分，还结合R-S积分思想创造了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。
在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线或者更高维数的欧氏空间的一个子集中定义的函数的积分。
积分函数
1、基本积分公式：∫0dx=c，这个公式是所有积分的基础，其中c是积分常数。 幂函数积分公式：∫x^udx=（x^（u+1）/（u+1）+c，适用于对幂函数进行积分。 倒数积分公式：∫1/xdx=ln|x|+c，用于求解倒数函数的积分。 指数函数积分公式：∫a^xdx=（a^x）/lna+c，针对指数函数的积分。
2、定积分的计算公式：f= @（x，y）exp（sin（x）*ln（y）。定积分是积分的一种，是函数f（x）在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
3、以下是几种常见的积分计算公式： 定积分（不定积分的积分形式）： ∫f（x） dx = F（x） + C 其中，f（x） 是被积函数，F（x） 是 f（x） 的一个原函数，C 是常数。 不定积分： ∫f（x） dx 不定积分表示对函数 f（x） 进行积分，结果是一个含有积分常数 C 的表达式。
4、常用积分公式有以下：f（x）-∫f（x）dx k-kx x^n-[1/（n+1）]x^（n+1）a^x-a^x/lna sinx--cosx cosx-sinx tanx--lncosx cotx-lnsinx 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。